Seja um elemento de viga, formado por duas seções distantes dx uma da outra:
Devido à carga q atuando no elemento, o esforço cortante e o momento fletor variam com a grandeza x, logo terão valores ligeiramente diferentes na face à diteita, em relação à face esquerda.
Fazendo equilíbrio de forças:
ΣFy = 0
V - q.dx - (V+dV) = 0
Logo,
dV = -q . dx
dV/dx = -q (1),
ou seja, a taxa de variação do esforço cortante em relação a x é –q. Quando q = 0, V = constante.
Para o cálculo do momento fletor, será considerado a face esquerda do elemento como referência. Sendo assim, temos que:
ΣMface esquerda = 0.
Considerando que os momentos que tendem a girar o trecho em análise no sentido anti-horário seja positivo, chegamos à seguinte equação de equilíbrio.
-M + (M + dM) – (V + dV) – q . dx . (dx/2) = 0
-dM + V . dx – dV . dx – (q/2) . (dx2)/2 = 0
Desprezando os produtos diferenciais (dx2), chega-se a:
dM/dx = V (2).
Ou seja, a taxa de variação do momento fletor em relação a x é igual ao esforço cortante V (se carga concentrada atuando na viga).
Logo, substituindo (2) em (1), obtêm-se:
(d/dx) . (dM/dx) = -q
ou
dM2/dx2 = -q.
Observa-se que o momento máximo ocorre quando (dM/dx) = 0, ou seja, quando V = 0.
Considerar a carga distribuída a > 0, para baixo positiva ¯ Å.
Efetua-se uma seção na viga e obtém-se a expressão para o esforço cortante com sendo:
(a . L/2) – a . x = V
dV/dx = -a
ΣM = 0
(-a . L/2) . x + a . (x2/2) + M = 0
M = (a . L/2) . x - a . (x2/2)
x = 0 → M = 0
x = L → M = 0
x = L/2 → M = (a . L2/8)
OBSERVAÇÕES:
· cargas concentradas produzem descontinuidades nos diagramas de força cortante;
· binários produzem descontinuidade nos diagramas de momento fletor.